Como saber se existem limites no gráfico de uma função

O limite de uma função real estuda o comportamento das imagens da função f (x) quando a variável “x” se aproxima de um valor “c”. O valor da função quando “x” se aproxima de um ponto sem alcançá-lo. Vamos valorizar o conceito de limite em um gráfico.

O limite de uma função real estuda o comportamento que as imagens da função f (x) têm quando a variável de ” x ” se aproxima de um valor ” c “, ou seja, quando ” x ” se aproxima de ” c ”As imagens de f (x) se aproximam de“ L ”, onde“ L ”é o limite.

Ekuatio.com define o limite matemático de uma maneira simples quando argumenta que o limite é determinar um valor que uma função se aproxima quando “x” tende a um ponto “c”, mas sem atingir (tocar) esse ponto.

Simbolicamente, o limite em matemática é escrito fx = L.

A expressão fx = L tem a seguinte redação:

O limite da função f quando ” x ” tende a “c” é igual a L. Quando dizemos que “x” tende a “c”, os limites laterais são intrinsecamente estudados (à direita ou à esquerda).

Dessa maneira, o limite à direita é escrito simbolicamente da seguinte forma: fx e estuda o comportamento das imagens da função f (x) para os valores de “ x ” próximos a “c” à direita.

Enquanto o limite à esquerda é escrito simbolicamente, então fx e estuda o comportamento das imagens f (x) para os valores de “x” próximo a “c” à esquerda.

Ao estudar os limites de uma função de lado, é determinado que o limite existe e é único.

Nós nos aprofundamos na definição do limite no gráfico de uma função e outros conceitos matemáticos relacionados.

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Definição do limite em termos epsilon-delta (ɛ-δ)

O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) propôs a definição de limite matemático em termos de ɛ-δ, assim:

Se é possível determinar uma dimensão δ tal que para todo valor h, menor em valor absoluto que δ, f (x + h) – f (x) seja menor que uma quantidade tão pequena ɛ quanto desejado, então será dito que foi feito para corresponder a uma variação infinitamente pequena da variável e uma variação infinitamente pequena da função ”.

Tanto Augustin Cauchy quanto Weierstrass dedicaram grande parte de suas meditações para colocar essa noção em uma base lógica e, assim, dar-lhe alguma “precisão lógica”, independente de toda intuição geométrica.

Essa definição rigorosa do limite é a seguinte: Seja f uma função definida em um intervalo aberto que contenha “c” (exceto possivelmente em c) e L um número real. A afirmação:

fx = L

Significa: para todo ɛ> 0, existe um δ> 0 tal que, se 0 <| xc | <δ então | f (x) -L | <ɛ. Graficamente, a definição de limite em termos de epsilon-delta é exibida da seguinte forma:

A definição de limite em termos epsilon-delta (ɛ-δ) é usada para demonstrações nos assuntos de cálculo (infinitesimal) e análise matemática.

Hoje é chamado de definição formal do limite , a base principal do conceito de continuidade, derivadas e integrais de funções reais .

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Procedimentos para encontrar o valor de um limite

A seguir, explicaremos os três procedimentos básicos para encontrar o valor de um limite .

Valor de um limite em matemática (por procedimento numérico)

A noção numérica sobre o limite em matemática é devida ao matemático francês Augustin Louis Cauchy (1789-1857), definido da seguinte forma:

“Quando os valores atribuídos sucessivamente à mesma variável se aproximam indefinidamente de um valor fixo, de modo que eles diferem tão pouco quanto você deseja, o último é chamado limite de todos os outros.”

Para uma melhor compreensão, estimaremos através de um exercício específico o valor do limite de 3x + 5 usando o procedimento numérico .

Exemplo de procedimento numérico de valor limite:

Por número, encontraremos o limite de f (x) = 3x + 5 quando “x” tender a 1.

Para isso, é feita uma tabela com três valores próximos à esquerda de x = 1 (0,9; 0,99 e 0,999).

Em seguida, as imagens de “f (x)” são encontradas em cada um dos pontos (f (0,9); f (0,99); f (0,999)) e observa-se que os valores das imagens estão próximos de 8)

Da mesma forma, é elaborada uma tabela com três valores próximos à direita de x = 1 (1.001; 1,01; 1,1).

Posteriormente, as imagens “f (x)” são encontradas em cada um dos pontos (f (1.001); f (1,01); f (1,1)) e observa-se que os valores das imagens também estão próximos de 8)

Com esse processo, o comportamento numérico do limite é estudado e conclui-se que, quando “x” se aproxima de 1 à esquerda ou à direita, as imagens de f (x) se aproximam arbitrariamente de 8. Portanto, 3x +5 existe e seu valor é 8.

A tabela obtida é a seguinte:

Encontre o valor de um limite pelo gráfico

Falar sobre o conceito de limites em matemática em sua noção geométrica intuitiva (forma gráfica) remonta às contribuições de Newton e Leibniz nos séculos XVII e XVIII sobre os métodos de quociente diferencial e fluxões.

Embora essa noção não tenha sido muito precisa para aqueles tempos, é a que hoje é tratada quando se estuda o limite de uma função f (x) em torno do ponto “c”, ou seja, fx = L. Graficamente , podemos visualizá-lo assim:

É importante esclarecer que f (c) estuda o comportamento da função f no valor de “c”, enquanto fx estuda o comportamento da função em torno do valor “c”. Dessa maneira, o limite é estudado em torno de um ponto que não está no ponto.

Para uma melhor compreensão, estimaremos o valor do limite de 3x + 5 usando o procedimento gráfico através do exercício a seguir.

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Limite no gráfico de uma função

O objetivo principal primeiro é representar graficamente a função f (x) = 3x + 5. Como é uma função linear ou um polinômio de primeiro grau, basta encontrar dois pontos e representar graficamente a reta.

Para fazer isso, tomaremos os pontos de interseção (x = 0, y = 0) obtendo (0, f (0) = 5) e (x = -5 / 3, 0).

O gráfico de f (x) associado é o seguinte:

Então, depois de obter o gráfico da função f (x) = 3x + 5, estudamos o comportamento das imagens de “f (x)” em torno de x = 1, ou seja, 3x + 5.

Podemos observar como as imagens de “f (x)” em torno de x = 1 se aproximam de 8, não apresentando saltos ou crescimentos ou diminuindo para o infinito ou menos infinito.

Portanto, dizemos que o limite lateral à direita, como à esquerda, se aproxima de 8 e é determinado que o limite existe e é único .

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Limite de uma função por procedimento analítico

Para abordar esse tipo de procedimento e estimar o valor de um limite , primeiro as seguintes propriedades básicas dos limites devem ser tratadas :

Sejam b, c números reais, n um número inteiro positivo, funções f e g.

  1. Múltiplo escalar, b = b, o limite de uma constante é uma constante.
  2. Constante por função , bf (x) = bf (x), o limite de um número constante ou real de uma função é igual a multiplicar a constante pelo limite da função .   
  3.  Soma ou diferença, fx ± gx = fx ± gx, o limite da soma ou diferença de duas funções é igual à soma ou diferença dos limites de cada função .
  4. Produto, fxgx = fx gx,    o limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites de cada função .
  5.  Quociente, f (x) gx = f (x) g (x), contanto que g (x) ≠ 0, o limite da razão de duas funções seja igual ao quociente dos limites de cada função .
  6. Potência, f (x) g (x) = [limx → cfx] x → cg (x), o limite de uma potência é igual ao limite base elevado ao limite do expoente.

Com o uso dessas propriedades e operações algébricas, é possível calcular o valor numérico exato do limite de uma função em torno de um ponto, independentemente do gráfico ou aproximações.

Encontre o limite de uma função pelo procedimento analítico

Abordaremos o exemplo a seguir para encontrar o limite , calcular 2x + 3.

Começaremos aplicando a propriedade número três, que trata da soma ou diferença de limites .

Aplicando a propriedade que você precisa para 2x + 3 = 2x + 3, aplique a propriedade número dois (constante para uma função) e, portanto, 2x + 3 = x + 3.

Por fim, usando a propriedade número um (múltiplo escalar) e avaliando x = 1 onde estão os “x”, você tem 2x + 3 = 2 * 1 + 3 = 5.

Dessa forma, o valor numérico exato do limite de f (x) = 2x + 3 é obtido quando “x” tende a 1, cujo valor é 5.

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Quando um limite não existe?

Sabemos que um limite não existe quando as imagens de f (x) nos valores próximos a “x = c” à direita e à esquerda não se aproximam do mesmo valor.

Assim, as imagens f (x) apresentam saltos ou crescimentos abruptos ou diminuem para o infinito ou menos infinito.

Existem três tipos diferentes de maneiras de saber se existe um limite observando o gráfico de uma função .

Saiba se o limite não existe, método 1

O primeiro, f (x) cresce ou diminui sem dimensão quando “x” tende a “c”, ou seja, que as imagens de “f” se tornam maiores ou menores, quando “x” assume valores próximos para “c”.

Vamos ver graficamente:

Nesse caso específico, quando “x” se aproxima de 1 à esquerda, as imagens f (x) diminuem sem dimensão, portanto, fx não existe. Então, quando “x” se aproxima de 1 à direita, as imagens f (x) crescem sem dimensão, portanto fx não existe o limite .

Em conclusão, fx não existe .

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Quando um limite não existe? Método 2

O segundo caso, f (x) oscila entre dois valores fixos quando “x” tende a “c”.

Podemos observar que quando “x” se aproxima de -2 à direita, as imagens f (x) são 1, portanto fx = (1) = 1.

Então, quando “x” se aproxima de -2 à esquerda, as imagens f (x) são -1, portanto, fx = (- 1) = -1.

Em conclusão, fx não existe o limite .

Inexistência do limite matemático. Método 3

Agora, quanto ao terceiro tipo, quando f (x) tende a números diferentes, como “x” tende a “c” à direita ou à esquerda.

Vamos ver o seguinte gráfico:

Observa-se que quando “x” se aproxima de 0 à esquerda, as imagens f (x) se aproximam de -3, portanto, fx = (x2-3) = – 3.

Por outro lado, quando “x” se aproxima de 0 à direita, as imagens f (x) se aproximam de 1, portanto fx = (1-x) = 1.

Assim, o limite da função f (x) quando “x” tende a 0 não existe, portanto fx não existe.

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O que é um limite no infinito?

Falar sobre limite no infinito implica estudar o limite de uma função quando “x” tende a valores muito grandes ou muito pequenos enquanto as imagens estão mais próximas do valor limite.

Simbolicamente fx = L significa que, para cada epsilon > 0, há M> 0 tal que | f (x) −L | <ε sempre que x> M.

Assim, como “x” assume valores maiores, as imagens f (x) estão mais próximas do valor de L.

Agora, se estudarmos fx = L, significa que para cada epsilon > 0 há N <0 tal que | f (x) −L | <ε desde que x <N.

Assim, como “x” assume valores menores, as imagens f (x) estão mais próximas do valor de L.

Vamos analisar o exemplo a seguir para calcular e observar em detalhes a diferença de estudar um limite de uma função quando “x” tende a um ponto fixo para quando “x” tende a valores muito grandes ou muito pequenos, ou seja, não a um valor fixo .

Limite ao infinito, exemplo:

Se f (x) = 1 / x +1, estudaremos o comportamento da função para valores “x” muito grandes e muito pequenos, ou seja, encontraremos fx e fx.

Primeiro através do procedimento numérico, temos:

Observa-se que, como “x” assume valores muito grandes, as imagens f (x) se aproximam arbitrariamente 1.

Portanto, 1x + 1) = 1.

Da mesma forma, como “x” assume valores muito pequenos, as imagens f (x) se aproximam arbitrariamente de 1, portanto 1x + 1) = 1.

Assim, 1x + 1) = 1.

Agora, estudando o limite no infinito para este exemplo em particular por procedimento gráfico, é exibida a existência do limite da função para valores “x” muito grandes e muito pequenos, o que é próximo a af (x) = 1, mas de certa forma assintótico

Felizmente, essas definições de limites e exemplos gráficos permitem que você resolva o problema com mais propriedade.

Pratique a existência do limite no gráfico de uma função aprendendo a representar graficamente funções no Microsoft Excel .

Referências

 

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