Como calcular o volume de uma tampa esférica usando o cálculo

A abordagem geral do cálculo no cálculo de volumes de objetos com superfícies curvas é baseada na principal teoria da integração. Em essência, o objeto tridimensional é cortado em fatias cada vez menores e aproxima o volume de cada uma dessas partes usando uma forma mais simples. Para encontrar o volume de uma tampa esférica, a formulação mais simples é imaginar uma pilha de cilindros largos e curtos um sobre o outro. O volume é calculado como a altura de cada um desses cilindros para zero, gerando aproximações mais precisas.

Escrevendo a integral

Determine o diâmetro ou raio da sua tampa esférica na sua parte mais larga.

Determine a altura do boné.

Faça a raiz quadrada dos números nas etapas 1 e 2 e adicione-os. Divida esse número pelo dobro do número na Etapa 2. Isso fornece R, o raio da esfera da qual a tampa esférica foi cortada.

Digite “V =”, seguido pelo símbolo de integração.

Subtraia o número que você calculou na Etapa 2 de R e escreva esse número na parte inferior do símbolo de integração.

Escreva o valor de R na parte superior do símbolo de integração.

Escreva pi, seguido de parênteses, após o símbolo de integração.

Faça a raiz quadrada do valor de R e escreva-a após os parênteses, seguida pelo sinal de menos.

Escreva “x ^ 2”, seguido pelos parênteses de fechamento. Basta escrever a integral com “dx”.

Avaliando a integral

Multiplique pi entre parênteses, resultando em pi * x ^ 2 subtraído de uma constante.

Avalie o primeiro termo da integral multiplicando a constante pela altura da tampa esférica (na verdade R – a, as duas extremidades da integral) e movendo-a para fora da integral. A equação deve agora estar na forma “V = C (R – a) – [integral definida de a a R] pi * x ^ 2 dx”, onde C é a raiz quadrada de R vezes pi e R é a altura da cobertura esférica.

A integral restante é avaliada em 1 / 3_pi_ (R ^ 3), 1 / 3_pi_ (a ^ 3). Assim, a fórmula geral para o volume de um tampão esférico é V = C (R – a), 1 / 3_pi_ (R ^ 3) + 1 / 3_pi_ (a ^ 3), onde C já é como descrito na Etapa 2 e R é como descrito na Etapa 3 da seção anterior.

Substituindo R menos a altura da tampa esférica (“h”) por a, avaliando os cubos e simplificando os resultados em V = 1 / 3_pi_h ^ 2 * (3R – h), a fórmula algébrica padrão para o volume de um tampa esférica

Referências

 

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