Como calcular o inverso da distribuição cumulativa normal padrão

O inverso da distribuição cumulativa normal padrão é uma função que nos fornece um valor específico da variável (z) associada a um valor de probabilidade acumulado, vamos ver como é calculado.

O inverso da distribuição cumulativa normal padrão é uma função que fornece um valor específico da variável (Z) associado a um valor de probabilidade cumulativa, desde que a variável siga uma distribuição normal com média  ( x bar ) e desvio padrão “σ” (sigma).

Por exemplo, de maneira não exaustiva, qual é o valor máximo de altura dentro do qual 60% dos jovens jogadores de futebol estarão (valor que determina uma probabilidade menor ou igual a 0,60) sabendo que a altura média do o equipamento mede 1,79 metros, com um desvio de 0,25 m.

Como tal, não há distribuição normal inversa , mas há o inverso da função cumulativa de densidade de probabilidade.

distribuição gaussiana inversa ou distribuição normar inversa são termos tanto incorrectas para se referir ao inverso da distribuição cumulativa normal também chamada função de distribuição cumulativa inversa (ICDF pela sigla) para o padrão ou o padrão normal de .

Vamos passo a passo para que você alcance a melhor compreensão do assunto.

Vamos falar um pouco sobre a distribuição normal , a normal normal , a função de probabilidade cumulativa, o inverso da função acumulada normal e, finalmente, aprender a calcular o inverso da distribuição cumulativa normal padrão .

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Distribuição normal

A distribuição normal , também chamada de distribuição gaussiana ou gausiana , é de longe o ponto central das estatísticas. É o modelo de distribuição de probabilidade de variáveis ​​contínuas de maior e mais importante uso da estatística.

A infinidade de variáveis ​​de interesse comum pode ser atribuída a um modelo de distribuição normal , como medidas morfológicas nos indivíduos de uma população e seu peso.

Nos últimos séculos, numerosos estudos atribuíram o comportamento de variáveis ​​e fenômenos naturais ao modelo de distribuição normal .

O site em espanhol vinculado ao atendimento médico Fisterra.com analisa: “a distribuição normal é uma das distribuições de probabilidade mais estudadas em textos médicos e uma das melhores utilizadas na prática”.

Apenas para mencionar alguns casos, a distribuição normal é atribuída a variáveis ​​como:

  • As medidas anatômicas dos indivíduos de uma população ou espécie: altura, tamanho de um órgão, medição dos ossos. 
  • O efeito de uma droga em qualquer um dos caracteres fisiológicos. 
  • O QI e outras características psicológicas.
  • Medidas de pressão arterial, lipídios, glicemia.
  • Comportamento do consumidor em marketing, como o consumo médio de um determinado item. 

Algumas características da distribuição normal

Algumas características ou propriedades muito compreensíveis da distribuição normal são:

  • Sua média ou esperança é igual a “µ” (miú).
  • Tem uma variação indicada como “σ2” (sigma quadrado).
  • O desvio padrão é 2, portanto, igual a σ (sigma). 
  • Quando uma variável X segue uma distribuição normal , com média “µ” e desvio “σ”, X ~ N (µ, σ) é indicado 
  • Tem a forma de um sino gaussiano, pois é simétrico na diferença de seus valores em relação a µ. 
  • Tanto sua média quanto seu modo e mediana coincidem em µ. 
  • Seu gráfico em forma de sino é assintótico no eixo horizontal (eixo X).
  • Sempre haverá uma probabilidade de 95% de que o valor de uma variável normal esteja entre µ- 1,96 σ e µ + 1,96 σ.

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Qual é a distribuição normal padrão?

Uma distribuição normal padrão denotada N (0,1) é uma distribuição normal com média igual a zero e desvio padrão igual a 1. Fisterra.com explica a importância e a aplicabilidade da distribuição normal padrão .

Qualquer variável “X” distribuída normalmente com parâmetros ou estimadores (µ, σ) pode gerar uma característica de “padronização” ou pode ser convertida em uma distribuição normal padrão Z ~ N (0,1) pela transformação Z = (X – µ) / σ, isso também é chamado de “digitação de normalização”.

É uma propriedade amplamente utilizada na prática, uma vez que, para a distribuição normal padrão , estão disponíveis tabelas de probabilidade cumulativa “p (Z ≤ zi)” a partir das quais o valor de probabilidade de um dado menor ou igual a certo valor de Z denotado “zi”.

A padronização ou “digitação” permite resolver aplicações simples ou aproximações do comportamento de variáveis ​​às quais o comportamento de normalidade pode ser atribuído.

Por outro lado, se você apagar “X” da fórmula Z = (X – µ) / σ. Você terá a expressão X = Z * σ + µ.

O que permite obter o valor da variável “X”, dado um determinado valor de Z, com uma média ou variação conhecida ou inversa da distribuição cumulativa normal padrão .

Dessa forma, os valores para qualquer variável normal podem ser obtidos a partir de um valor “Z” tabulado correspondente à distribuição normal padrão .

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Qual é a função de probabilidade cumulativa?

A função de distribuição cumulativa (FDA) ou função de densidade de probabilidade cumulativa de uma variável “X” medida em um valor específico “xi” é a probabilidade de que a variável tenha um valor menor ou igual a “xi”.

No caso da distribuição normal , como uma das distribuições que se aplica a variáveis ​​contínuas, o FDA é a área sob a função de densidade de probabilidade (ou sino gaussiano) compreendida entre o infinito negativo até “xi” (X sub i)

As tabelas do padrão normal ou comumente denominada tabela de distribuição normal não são outra coisa senão a tabulação do FDA para um determinado valor Z com duas casas decimais de apreciação.

Você pode encontrar cópias da tabela normal ( tabela de distribuição normal ) em sites reconhecidos como o Departamento de Matemática da Universidade do Arizona.

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Como calcular a probabilidade de uma distribuição normal?

As maneiras mais comuns e simples de calcular o valor de probabilidade de uma distribuição normal são usando a tabela normal padrão ou confiando em uma planilha .

Menos comum é o uso de calculadoras de distribuição normal , uma delas Easycalculation.com .

Vamos para um exemplo.

Vamos voltar ao exemplo do time de futebol masculino, onde a altura média é de 1,79 metros, com um desvio padrão de 0,25 m. Queremos saber a probabilidade de que, escolhendo um jogador aleatório, essa medida seja no máximo 1,84 metros.

Se queremos fazer essa avaliação por tabela, precisamos saber o valor de Z.

Usamos a equação Z = (X – µ) / σ. Onde:

  • Z é o valor normal padrão com o qual iremos para a tabela e obteremos o FDA. 
  • X é a altura máxima do jogador (valor determinado) de 1,84 metros. 
  • µ é a altura média da equipe de 1,79 metros.
  • σ é o desvio padrão (variação de altura da média) do equipamento de 0,25 m.  

Calculamos Z = (1,84 m – 1,79 m) / 0,25 m = 0,20. Com esse valor, vamos para uma tabela normal e procuramos o valor de probabilidade (FDA) acumulado à esquerda.

No nível da região ou linha, procuramos 0,2 e, nas colunas, localizamos 0,00 na interseção ou interceptação, lemos o valor 0,57926 que corresponde ao valor de probabilidade necessário.

A probabilidade de a altura do jogador ter no máximo 1,84 metros é maior que 0,5 e igual a 0,5793.

Qual é o inverso da distribuição normal?

O Centro de Suporte do programa estatístico Minitab explica que o inverso da distribuição normal é o valor específico da variável (xi) que satisfaz um valor cumulativo de densidade de probabilidade.

Em relação ao inverso da distribuição cumulativa normal padrão é o valor de “Z”, dado um valor de probabilidade p (Z≤ zi).

Também chamada de função de distribuição cumulativa inversa (ICDF), é uma equação que determina o valor da variável a partir de um valor de probabilidade conhecido em apoio à distribuição normal padrão .

A fórmula para a função inversa de distribuição normal , como tal, é muito complexa, por isso é difícil calcular com lápis e papel.

No entanto, programas de planilhas geralmente incluem funções projetadas para encontrar o valor dessa função; vamos ver como.

Mais sobre o assunto: Como encontrar o valor Z no Microsoft Excel?

Calcular o inverso da distribuição cumulativa normal padrão

Vamos nos concentrar em como calcular o inverso para a distribuição normal usando pacotes de planilhas, como o Open Office ou o Excel.

Reverso do padrão normal com o Open Office

Se você não o tiver disponível, baixe e instale o Open Office Calc . Carregue o programa e selecione Planilha . Isso o levará a uma planilha em branco do Open Office .

Vá para a célula A1 e insira “média”. Na célula A2, insira “desvio padrão”. Vá para a célula B1 e insira o valor zero (0) e, em B2, o (1), isso ocorre porque a distribuição normal padrão tem uma média igual a zero e o desvio padrão igual a 1.

Vá para a célula C1 e digite “valor de probabilidade”. Começando na coluna C2, escreva a probabilidade como números entre zero (0%) e um (100%).

Se você deseja calcular mais de uma distribuição padrão inversa , terá uma probabilidade diferente para cada cálculo. Escreva todas as suas probabilidades (se você tiver mais de uma), na coluna C.

Lembre-se de que a função cumulativa padrão inversa assume a probabilidade como entrada, e esse é sempre um número entre zero e um, mas nunca é igual a zero ou um.

Vá para a coluna D1 e digite ” distribuição normal inversa padrão “. Escreva a fórmula para a distribuição normal inversa na célula D2.

As entradas da fórmula são: o valor da probabilidade, a média e o desvio padrão. A fórmula é: “= NORMINV (C2; $ A $ 2; $ B $ 2)”.

Lembre-se de que os cifrões “$” são necessários para que a média e o desvio sejam constantes quando a fórmula é copiada e colada.

Se você precisar calcular mais de um inverso, copie e cole a fórmula na célula D2 quantas células na coluna D forem necessárias.

Na coluna D, você terá todos os valores da função inversa , lembre-se, esses são valores Z que satisfazem cada um dos valores cumulativos de probabilidade .

A função = NORMINV () toma a probabilidade, a média e o desvio padrão como entradas e como saída para o valor de Z (ou X) que as satisfaz ( valor da função cumulativa inversa padrão ).

Uma maneira fácil de verificar a precisão de seus cálculos é usar a função Open Office chamada “NORMSDIST ()”.

Se você usar o resultado do NORMINV na célula E2, obterá a probabilidade (que será o mesmo número em C2). Por exemplo: se você digitar “= NORMDIST (D2)” na célula E2 com os mesmos argumentos, o resultado será o mesmo mostrado em C2 e você saberá que executou o procedimento correto.

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Reversão da distribuição cumulativa normal com o Excel

Se você deseja usar o Excel em vez do Open Office, a fórmula INV.NORM atende ao mesmo objetivo.

Abra um documento ou planilha no Microsoft Excel . Vá para qualquer célula.

No menu “Fórmulas”, clique em “Estatísticas”. Todas as fórmulas do Excel aplicáveis ​​a esse campo serão exibidas.

Selecione ou pesquise INV.NORM, que corresponde à fórmula inversa da distribuição cumulativa da regra l.

Uma caixa de diálogo com três campos obrigatórios será exibida.

Na primeira entrada da probabilidade, assuma 0,6. A segunda é a média, para o nosso exemplo inicial 1,79 (metros) e, finalmente, o desvio padrão, 0,25 de acordo com o nosso exemplo.

A fórmula retornará um resultado que corresponda ao valor “xi” que satisfaça a probabilidade p (X ≤xi). No nosso caso, a altura máxima em metros que determina uma probabilidade de 0,6.

Em outras palavras, o valor da altura máxima em que 60% dos jogadores é equivalente a 1,85 metros.

Referências

 

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